Formale Logik untersucht, was aus was folgt unabhängig vom Inhalt, allein aufgrund der Form. Sie ersetzt vage Alltagssprache durch präzise Symbole und Regeln, sodass sich Gültigkeit mechanisch prüfen lässt. Sie ist das Fundament von Mathematik, Informatik und Philosophie.
Eine Aussage ist ein Satz, der wahr oder falsch ist. Aus einfachen Aussagen baut man mit Junktoren zusammengesetzte: und (∧), oder (∨), nicht (¬), wenn…dann (→). Der Wahrheitswert des Ganzen ergibt sich eindeutig aus den Teilen.
Eine Wahrheitstabelle listet alle Kombinationen der Eingaben und den daraus folgenden Wert. Sie ist die vollständige Definition eines Junktors. Beispiel für „und" und „wenn…dann":
| p | q | p ∧ q | p → q |
|---|---|---|---|
| wahr | wahr | wahr | wahr |
| wahr | falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | falsch | wahr |
| falsch | falsch | falsch | wahr |
Bemerkenswert: „wenn p, dann q" ist immer wahr, wenn p falsch ist eine falsche Voraussetzung „erlaubt" jede Schlussfolgerung. Diese Feinheit sorgt oft für Verwirrung, ist aber für die formale Konsistenz nötig.
Ein Schluss ist gültig, wenn die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion erzwingt unabhängig vom konkreten Inhalt. Das klassische Beispiel ist der Modus Ponens.
Die Aussagenlogik behandelt ganze Sätze als Einheit. Die Prädikatenlogik schaut hinein: Sie kennt Objekte, Eigenschaften und die Quantoren „für alle" (∀) und „es gibt" (∃). Damit lassen sich Aussagen über Mengen von Dingen präzise fassen „alle Menschen sind sterblich" wird zu ∀x (Mensch(x) → sterblich(x)).
Wie sich All- und Existenzaussagen (und ihre Verneinungen) zueinander verhalten, ordnet ein klassisches Diagramm das logische Quadrat (Square of Opposition). Es zeigt zum Beispiel, dass „alle sind A" und „einige sind nicht A" nicht zugleich wahr sein können.
| Feld | Rolle der Logik |
|---|---|
| Mathematik | Beweise, Fundamente |
| Informatik | Schaltungen, Programmverifikation |
| Philosophie | Argumentanalyse, Klarheit |
| KI | Wissensrepräsentation, Schließen |