Ein Fraktal ist eine Struktur, die auf jeder Vergrößerungsstufe ähnlich aussieht: Zoomt man hinein, tauchen immer wieder verkleinerte Kopien des Ganzen auf. Diese Selbstähnlichkeit entsteht oft aus verblüffend einfachen Regeln, die man nur oft genug wiederholt. Fraktale haben zudem eine seltsame Eigenschaft: eine nicht ganzzahlige Dimension. Das berühmteste Beispiel ist die Mandelbrot-Menge.
Das Kennzeichen: Ein Teil sieht aus wie das Ganze. Ein Farnblatt besteht aus kleineren Farnblättern, die wieder aus noch kleineren bestehen. Eine Küstenlinie zeigt in der Nahaufnahme dieselbe Zerklüftung wie aus der Ferne. Es gibt keine „natürliche" Größenskala, das Muster wiederholt sich über alle Ebenen.
Fraktale entstehen durch Iteration: eine Regel, immer wieder auf ihr eigenes Ergebnis angewandt. Die Koch-Kurve etwa ersetzt in jedem Schritt das mittlere Drittel jeder Strecke durch eine Spitze. Nach wenigen Schritten entsteht eine unendlich zerklüftete Linie, die auf endlicher Fläche unendlich lang wird.
Fraktale liegen „zwischen" den gewohnten Dimensionen. Eine Linie ist 1-dimensional, eine Fläche 2-dimensional. Eine fraktale Kurve, die eine Fläche immer dichter ausfüllt, hat eine Dimension irgendwo zwischen 1 und 2, etwa 1,26 für die Koch-Kurve. Diese fraktale Dimension misst, wie stark sich die Detailmenge beim Hineinzoomen vervielfacht.
Das ikonische Fraktal entsteht aus einer der einfachsten denkbaren Formeln: z → z² + c. Man wählt für jeden Bildpunkt c eine Zahl, startet bei z = 0 und wendet die Formel immer wieder an. Bleibt z beschränkt, gehört der Punkt zur Menge (schwarz); rennt es ins Unendliche, nicht. Aus dieser winzigen Regel entsteht eine unendlich reiche, an ihrem Rand endlos zerklüftete Struktur.
| Beispiel | Selbstähnlich in |
|---|---|
| Küstenlinien | Zerklüftung über alle Maßstäbe |
| Farne, Bäume, Blutgefäße | Verzweigungsmuster |
| Blitze, Flussdeltas | Verästelung |
| Mandelbrot- und Julia-Mengen | reine Mathematik |
| Seltsame Attraktoren | chaotische Dynamik |
Fraktale verbinden Geometrie mit nichtlinearer Dynamik: Seltsame Attraktoren wie der Lorenz-Attraktor haben fraktale Struktur, und viele fraktale Muster entstehen aus denselben Iterationen, die auch Chaos erzeugen. Am schönsten erschließen sie sich durch interaktives Hineinzoomen.